A estudante de graduação Lisa Piccirillo resolveu em menos de uma semana um famoso problema sobre um bizarro nó descoberto pelo matemático John Horton Conway mais de 50 anos atrás.

A questão

A teoria do nó é o estudo dos nós matemáticos. Apesar de ser inspirada pelos nós da vida real, a noção matemática é um pouquinho diferente: nela, as pontas unidas não podem ser desfeitas.

Desde que ela existe, os fundadores dessa teoria criaram uma tabela com mais de seis bilhões de nós e enlaces (que são nós de vários componentes entrelaçados uns com os outros).

A questão que ficou conhecida como “nó de Conway” é saber se um enlace descoberto mais de 50 anos atrás pelo legendário matemático faz parte (ou, em outras palavras, se é uma “fatia”) de um nó de maior dimensão.

Os “fatiamentos” são uma das primeiras perguntas que os teóricos fazem sobre nós em espaços de dimensões mais altas. Até hoje, os matemáticos conseguiram respondê-la para todos os milhares de nós com 12 ou menos enlaces, exceto um: o nó de Conway, que possui 11 cruzamentos.

Eureca!

Em 2018, Piccirillo foi a uma conferência sobre topologia e geometria onde ouviu falar do problema pela primeira vez. Ela achou que seria interessante testar uma técnica que vinha desenvolvendo como estudante na Universidade do Texas (em Austin, nos EUA) para tentar desvendá-lo.

Antes do final da semana, Piccirillo já tinha uma resposta: não, o nó de Conway não era uma “fatia”.

Alguns dias depois, ela se encontrou com Cameron Gordon, seu professor na Universidade do Texas, e mencionou sua solução.

Gordon ficou extremamente emocionado, dizendo que ela iria com certeza para o Annals of Mathematics, uma das principais revistas científicas da disciplina.

“Ele começou a gritar: ‘Por que você não está mais animada?’”, contou Piccirillo, agora pós-doutoranda na Universidade Brandeis (em Waltham, EUA).

“Acho que ela não reconheceu quão antigo e famoso esse problema era”, complementou Gordon.

A resolução de Piccirillo de fato foi publicada na Annals of Mathematics em fevereiro. Essa prova, ao lado de seus outros trabalhos, a levaram a aceitar uma oferta de emprego no prestigiado Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT, nos EUA), que ela deve começar em julho.

Nós, enlaces, dimensões e topologia: entenda melhor

A explicação dada acima sobre a questão do nó de Conway é muito geral e não nos diz muito sobre a utilidade deste problema, não é mesmo?

O fatiamento não é apenas uma gracinha matemática; a teoria oferece aos cientistas uma maneira de investigar a natureza estranha do espaço quadridimensional, no qual esferas bidimensionais podem ser “atadas”.

Ao longo do século passado, os nós ajudaram os pesquisadores a compreender melhor temas que variam da física quântica até a estrutura do DNA, incluindo a topologia do espaço tridimensional.

Dito isto, quando consideramos o tempo, o nosso mundo é quadridimensional; então, nada mais natural para os cientistas do que se perguntar se existe uma teoria correspondente dos nós em 4D.

Infelizmente, isso não é tão simples quanto mudar tudo para um espaço 4D; havendo o “tempo” para se movimentar, qualquer enlace pode ser desfeito se os fios se mexerem na quarta dimensão.

Imagine uma esfera com nós em 3D. Se você a cortar, verá simplesmente um loop, não um nó. Já em 4D, dependendo de onde você cortar a esfera, pode ver um laço com nó, um laço sem nó ou um link de vários loops.

Qualquer nó que você possa fazer ao cortar uma esfera atada é considerado uma “fatia”. Alguns nós não são cortados – por exemplo, o nó de três cruzamentos conhecido como nó de trevo (foto abaixo).

Até aqui, tudo bem. Nos anos 1980, no entanto, uma estranheza foi adicionada à teoria da topologia 4D: os matemáticos Michael Freedman e Simon Donaldson descobriram que existem duas versões diferentes do que significa ser fatia nesse ambiente quadridimensional.

O espaço 4D não contém apenas as esferas “lisas” que visualizamos intuitivamente – ele também contém esferas tão amassadas que nunca poderiam ser alisadas novamente. Aqui, a questão de quais nós podem ser cortados depende se você opta por incluir essas esferas amassadas na equação, ou não.

Essas esferas são um recurso para a topologia quadridimensional: nós que são “topologicamente cortados”, mas não “alisados” – o que significa que são uma fatia de alguma esfera amassada – permitem que os matemáticos construam versões “exóticas” do espaço quadridimensional comum. Elas parecem com o espaço normal do ponto de vista topológico, mas sua existência diferencia a quarta dimensão das outras.

Ao longo dos anos, os matemáticos descobriram uma variedade de nós topologicamente amassados. Entre os com 12 ou menos enlaces, no entanto, não parecia haver nenhum – exceto possivelmente o de Conway.

A prova de Piccirillo

Conway, que morreu de Covid-19 mês passado, fez muitas contribuições influentes para a matemática. Ele teorizou sobre nós pela primeira vez na adolescência na década de 1950, criando uma maneira simples de listar todos os nós que tivessem até 11 cruzamentos.

E qual o mistério do nó de Conway? Bom, sabe-se que ele é topologicamente uma fatia, mas não se pode dizer se é uma fatia lisa ou amassada.

Isso porque o nó de Conway tem uma espécie de irmão – um recurso conhecido como “mutante” – que é uma fatia lisa.

O mutante é criado ao se desenhar o nó de Conway no papel, cortar um certo fragmento, virá-lo e juntar as pontas soltas. O resultado é outro nó, chamado de Kinoshita-Terasaka.

Uma vez que o Kinoshita-Terasaka é uma fatia lisa e que os dois estão tão intimamente relacionados, o nó de Conway consegue “enganar” todas as ferramentas (chamadas de invariantes) utilizadas pelos matemáticos para tentar detectar nós que não são fatias.

Piccirillo se deparou com esse problema justamente em uma época de sua vida na qual estava pensando em outra maneira de relacionar dois nós, além da mutação.

Todo nó tem uma forma quadridimensional associada, chamada de traço, que é criada colocando o nó no limite de uma bola 4D e costurando uma espécie de “gorro” no topo.

Da esquerda para a direita: nó de Conway, versão mutante (nó de Kinoshita-Terasaka) e versão traçada feita por Piccirillo

 Nós diferentes podem ter o mesmo traço quadridimensional e, o que é mais importante, esses “irmãos traçados” sempre têm o mesmo status – ou ambos são fatia ou ambos não são fatia.

Construir irmãos traçados não é nada fácil, mas Piccirillo é uma especialista. Através de uma combinação de reviravoltas inteligentes, ela criou um nó complicado com o mesmo traço que o de Conway que, conforme foi provado através de uma ferramenta chamada de invariante de Rasmussen, não é uma fatia lisa – logo, o nó de Conway também não pode ser.

Brilhante

De acordo com Joshua Greene do Boston College (EUA), que foi supervisor de Piccirillo quando ela estudou lá, a solução da cientista “se encaixa no molde de provas curtas e surpreendentes de resultados indescritíveis que os pesquisadores da área são capazes de absorver, admirar e procurar generalizar rapidamente – para não mencionar se questionar como demorou tanto tempo”.

Greene crê que os traços de nós são uma ferramenta clássica que Piccirillo entendeu mais profundamente do que qualquer outra pessoa.

“Seu trabalho mostrou aos topologistas que os traços de nós são subestimados. Ela meio que tirou poeira de algumas ferramentas e agora outros estão seguindo o exemplo”, concluiu. [QuantaMagazine]